A única maneira real de fazer isso é configurar um servidor proxy que requer autenticação.
Veja: link
Em uma rede pequena como a sua, isso é muito trabalhoso para um resultado tão pequeno.
Seria melhor restringir o acesso à própria rede de computadores "estrangeiros". A maioria dos roteadores permite que você faça isso listando os endereços MAC (às vezes chamados de endereços Ethernet) dos computadores permitidos e, em seguida, não permitindo o tráfego de rede de qualquer outro dispositivo.
Procure por uma seção na configuração do roteador chamada "Ethernet Filtering" ou "MAC Filtering". A maioria dos roteadores tem até um sistema de entrada rápida que inserirá todos os dispositivos que ele pode ver atualmente na tabela.
Agora, você pode voltar a fazer com que os usuários façam login nos computadores.