Parece que o problema que você está enfrentando é, na maioria dos casos, um recurso de "segurança" - pelo menos no sentido de que muitos sites e aplicativos farão seu logout se o seu endereço IP mudar após o logon. Assim, um login com cookies associados só será utilizável com o mesmo endereço de IP.
A melhor parte para remediar isso é garantir que você não tenha um endereço IP tão rápido. Um endereço IP dinâmico muito mais comum teria, em muitos ambientes de servidor padrão, pelo menos 8 dias, mas isso certamente é algo que depende do seu provedor - não sua própria configuração localmente, desde que você tenha um roteador.
Eu pessoalmente recomendo que você entre em contato com seu ISP se tiver uma configuração sem modem, que configure centralmente, para que você possa obter mais informações sobre a frequência está destinado a mudar.
Anedota: onde eu moro, é muito mais comum para os ISPs darem a você um novo endereço IP em cada reconexão. Nesse caso, a sua conexão está estável?