Acho que até mesmo o aplicativo W8 está realmente aberto, mas não visível.
Infelizmente não. O mecanismo de sincronização é incorporado ao cliente, que deve estar aberto.
Existe um trabalho por aí. Você pode criar blocos de anotações em qualquer lugar, incluindo suas pastas do Dropbox. Estes serão sincronizados pelo Dropbox em segundo plano.
A desvantagem é que você não poderá usar os clientes móveis nativos para editar os blocos de anotações assim criados. No entanto, existem alguns aplicativos de terceiros (não gratuitos) que funcionarão com notebooks baseados no Dropbox.