Depende do que "morreu" no seu computador antigo. Estou assumindo que não era o disco rígido - caso contrário, obviamente, isso não funcionaria.
Sim, você deve conseguir copiar seus dados. A unidade antiga apareceria em uma letra de unidade diferente em Meu computador.
Se ele tentar inicializar da unidade errada quando você ligá-lo pela primeira vez, será necessário reiniciar o computador e alterar a prioridade de inicialização do disco rígido no BIOS.