Infelizmente, não há uma maneira particularmente barata de testar as coisas, já que o diagnóstico para isso é trocar partes ou testá-las em outra máquina.
Isso soa muito como problemas de energia, e eu também primeiro suspeito de um mau suprimento de energia. Você pode verificar os monitores, conectando-os em outro computador - se eles parecem funcionar muito bem, então eu suspeito que a placa gráfica não está recebendo energia suficiente, ou a placa gráfica está danificada (nessa ordem).
A melhor ideia seria testar com uma fonte de alimentação diferente e ver se os problemas desaparecem. Além disso, eu não confiaria na fonte de alimentação existente para manter seus componentes seguros, a menos que você possa descartar que a fonte de alimentação não está causando os problemas.