Depende do sistema operacional, mas uma maneira comum de qualquer aplicativo fazer isso é escrever em um "diário de registro" de alguns tipos toda vez que o aplicativo for aberto ou fechado.
No Windows, esse seria o registro do sistema. Quando o chrome abre / fecha, grava no registro que abriu / fechou com sucesso sem problemas. Toda vez que o Chrome é aberto, ele também verifica se há alguma discrepância no log. Se houver uma entrada "aberta com sucesso", mas nenhuma entrada correspondente "fechada com sucesso", é aí que ela sabe.