Você está correto, o QoS do roteador não ajudará. A primeira QoS poderia atuar em um pacote de entrada é quando esse pacote é recebido. Nesse ponto, ele já consumiu a largura de banda de entrada da conexão com a Internet, que é o que você estava tentando proteger. Realmente não há boas soluções para esse problema, infelizmente.
Se você puder limitar o programa de streaming de música a um pouco abaixo da velocidade máxima da sua conexão, isso provavelmente ajudará um lote . Isso manterá as profundidades das filas no lado do provedor muito mais baixas, reduzindo a latência que está matando sua navegação na Web.