Nas configurações da conta - > Sincronização & Armazenamento você verá todas as opções em torno da sincronização offline.
Ele terá configurações para permitir que você especifique para sincronizar o número X de emails recentes por pasta. Você também pode configurar quais pastas deseja sincronizar (ou seja, provavelmente não deseja sincronizar a pasta SPAM.
Se a sua versão do Thunderbird não tiver essas opções, acesse 12.01.