When I plug the Ethernet wire, the little led next to the port doesn't blink.
A outra extremidade do cabo teria que ser conectada a uma porta ativa em um switch (ou outro PC) para ligar o LED de "atividade".
If I do ifconfig, this is the output ... There is no eth0. Is that normal?
Experimente "ifconfig -a", que informará sobre todas interfaces, em vez de apenas as interfaces ativas.
Se a eth0 ainda não estiver listada, emita um comando "dmesg" e revise o log do sistema em busca de atividade e / ou falha de inicialização da interface Ethernet.