Consegui usar o rsync localmente, montando o sistema de arquivos em um diretório local no novo servidor usando o sshfs e, em seguida, executando o rsync em outro diretório. A sincronização inicial é um pouco lenta, mas uma vez que foi sincronizada uma vez, a sincronização subsequente que eu executei durante o tempo de inatividade foi suficientemente rápida.
Certifique-se de que o fusível esteja instalado e em execução:
sshfs [user@]hostname:[directory] intermediate-directory
Em seguida, use o rsync para sincronizar com o diretório final.
rsync -azP --delete intermediate-directory/ final-directory
Na primeira vez que você executar o rsync, ele terá que baixar tudo, então espere que isso leve algum tempo. Contanto que você não esteja usando somas de verificação ou fazendo qualquer coisa que exija o rsync para baixar arquivos inteiros, a próxima sincronização será muito mais rápida, já que ela só fará o download dos arquivos alterados. Eu recomendo rodar o comando uma vez antes de você estar pronto para derrubar o site, então ele garantirá os arquivos mais atualizados. Em seguida, execute-o novamente imediatamente após.