Como você já descobriu, o Edge é um aplicativo "protocolo ativado", por isso não é carregado como um aplicativo normal de um arquivo EXE. Na maioria das vezes, isso não é um problema, pois você pode usar as outras técnicas descritas nos comentários acima.
No entanto, se você realmente precisa iniciar o Edge através de um arquivo EXE, então você pode baixar um aplicativo (muito pequeno) que fará exatamente isso.
Veja este artigo para ver se isso é algo de seu interesse: link