how can I get the MS Basic Display driver to use the full 1366x768 resolution for the screen on this computer?
Isso não será possível.
How can I get, Windows to use, the correct display driver? Where can I find a driver for this graphics chip that will work with Windows 10 64-bit?
Se existir um driver compatível com o Windows 10 para o Windows 10, ele será encontrado no site da Intel.
Looking in the device manager, I see two entries for Mobile Intel(R) 4 Series Express Chipset Family (Microsoft Corporation - WDDM 1.1).
Se você tivesse o driver correto instalado, o Windows 10 de abril de 2018 estaria usando o WDDM 2.4. O fato de o Windows 10 estar tentando usar o WDDM 1.1 indica que você não possui drivers de vídeo da Intel instalados. O WDDM 1.1 foi usado apenas pelo Windows 7.
Os drivers compatíveis com o Windows 10 não existem para o seu produto. A Intel lançou apenas o Windows Vista com suporte para os drivers compatíveis com o Windows 7 para o seu produto.
This software driver package will install the Intel® HD Graphics driver for the Intel® Core™ Processors with Intel® HD Graphics. These drivers will not function with any other product. View the README file for installation information and the RELEASE NOTES for driver version details. This driver package contains version 15.22.58.64.2993 (8.15.10.2993) for Windows 7* 64-bit and Windows Vista* 64-bit.
Intel® Driver do Acelerador de mídia gráfica, Windows 7 * 64, Windows Vista * 64