Se o e-mail não aparecer nos itens enviados do Gmail, provavelmente você está bem
Note que o thunderbird é mais um revezamento do que você imagina. Ele pega o e-mail do Gmail e o envia de volta ao Gmail, mas não faz o trabalho pesado em si. Normalmente, a transferência para o Gmail levaria menos de uma dúzia de segundos, após os quais não seria importante ligar o computador.
No entanto, parece que você teve sorte.
Advertência : se a configuração for uma conta POP3, às vezes ela não será mostrada no Gmail ou em outros clientes de e-mail. Se seus outros e-mails do Thunderbird forem exibidos em Itens Enviados, você não terá esse problema.