Os HPs, semelhantes à Dell, costumam usar uma comunicação de terceiro fio com o adaptador de energia. Isso permite que o computador saiba em que tamanho o adaptador de energia está conectado.
Seu problema pode ser um dos dois problemas. O adaptador de energia pode estar com defeito. Nesse caso, tente outro. Ou, sua placa-mãe pode estar danificada. Se for esse o caso, provavelmente é a tomada de energia.
A coisa mais fácil de experimentar aqui é um adaptador de energia diferente. Você também pode acessar a configuração da BIOS e saber se ela reconhece o adaptador de energia ou não. Acho que a HP é um pouco mais limitada a esse respeito. Tocar na tecla F10 durante a inicialização geralmente leva você para a configuração da BIOS para a HP.
Seja o que for, o adaptador de energia ou a placa-mãe não está fornecendo energia suficiente para carregar a bateria quando o computador está ligado.
Há uma chance de que a bateria esteja ruim e tenha muita energia para carregar. Mas eu realmente acho que isso parece improvável com sua descrição. Você indicou que a bateria é carregada quando a energia está desligada e presumo que ela funcione corretamente na bateria com uma quantidade razoável de tempo de execução.