Após algumas investigações, parece que pulseaudio-module-bluetooth
está faltando. Estas são as etapas para instalá-lo:
$ sudo apt install -y pulseaudio-module-bluetooth
$ sudo pactl load-module module-bluetooth-discover
$ sudo service bluetooth restart
Isso deve ser o suficiente. Não há necessidade de uma reinicialização.
EDIT 1:
Nem todos os fones de ouvido permitem pia e fonte de entrada de alta fidelidade simultânea, ou seja, há diferentes perfis (a2sp, hsp, hfp) que podem ou não ser suportados simultaneamente. O "problema" é que um único canal Bluetooth não possui banda suficiente para que ambas as comunicações ocorram simultaneamente. Apenas os fones de ouvido de "canal duplo" suportam diferentes perfis simultaneamente.
Não sei ao certo, mas meu Philips SHB9850NC não conseguiu reproduzir bem com o perfil HSP: o microfone simplesmente não estava funcionando. Não consegui descobrir qual era o motivo. Eu tentei mudar perfis e eu tentei muitas coisas por um bom tempo. Não posso afirmar que "não funciona": talvez tenha sido apenas minha simples incompetência para fazê-lo funcionar no Linux ... mas não deveria ser ciência de foguetes, certo?
Acabei de comprar outro fone de ouvido (um canal duplo) que vem com um dongue USB pré-emparelhado que suporta vários perfis simultaneamente.
Se você estiver procurando um fone de ouvido para videoconferência via WebRTC, por exemplo, é melhor tentar marcas / modelos voltados para esse mercado específico, anunciando muito claramente esse uso específico em centrais de atendimento ou outros aplicativos comerciais.
EDIT 2:
Obrigado @Hannu por apontar um script que ajuda a selecionar perfis de dispositivos:
EDIT 3:
Ativando o equalizador: link