Não há um botão "Sair"
Eu assumo que este computador compartilhado também terá uma conta de usuário compartilhada. No caso de contas de usuários separadas, não haveria nenhum problema (o Thunderbird de cada pessoa abriria a sua configuração)
Solução: esqueça a senha -
Menu > Tools > Options > Passwords > Saved Passwords > Delete entry in question
Em seguida, você será solicitado a inserir sua senha toda vez que desejar verificar novos e-mails.
Fontes: Sem saída , Remover senha salva