Sua saída do Boot Repair parece OK para mim - até onde eu sei, você deve estar inicializando no GRUB quando o computador é inicializado. Pode ser que você tenha um firmware cheio de bugs, então você pode checar o site da Sony para uma atualização. (Obviamente, se você precisar inicializar o Windows para atualizar o firmware, isso pode ficar feio.) Se você puder atualizar o firmware, mas o problema persistir, a execução do Reparo de Inicialização poderá corrigir o problema.
Outra coisa que você pode tentar é preparar uma unidade flash de CD-R ou USB com meu gerenciador de inicialização do rEFInd. (Existem links de download para os dois tipos de mídia nesse site.) Se o rEFInd inicializar, ele deve fornecer um menu com várias opções. A opção do Windows deve funcionar, assim como uma opção do Ubuntu que inicializa via GRUB. Também deve haver pelo menos uma opção para inicializar um arquivo vmlinuz* . Este não funcionará a menos que você aperte F2 ou Inserir duas vezes para editar as opções do kernel. Adicionar ro root=/dev/mapper/ubuntu--vg-root deve funcionar. Se você puder entrar no Linux via rEFInd, você pode tentar instalar o pacote Debian rEFInd. Normalmente, isso configuraria o rEFInd como seu gerenciador de inicialização padrão, resolvendo assim seu problema. (Isso também evita a necessidade de adicionar manualmente as opções do kernel.) Infelizmente, dada a natureza do seu problema, não tenho certeza se isso funcionará para você, mas vale a pena tentar.
Se a instalação do rEFInd no seu disco rígido não funcionar, você poderá continuar mexendo nas configurações de firmware da EFI, em um esforço para encontrar uma solução alternativa. Verifique a Como instalar o rEFInd manualmente e Opções alternativas de nomenclatura da documentação do rEFInd para obter algumas ideias. Alternativamente, se uma unidade flash USB faz o trabalho como uma solução alternativa, você pode comprar uma pequena unidade flash USB para manter o rEFInd e deixá-lo permanentemente instalado em uma das portas USB do seu computador. (Algumas unidades são muito pequenas - quase niveladas quando totalmente inseridas.)
Mais um comentário: Sua saída do Boot Repair indica uma nomenclatura inconsistente do grupo de volumes que contém seu sistema de arquivos raiz ( / ). Às vezes é /dev/mapper/ubuntu--vg-root , mas outras vezes é /dev/mapper/ubuntu-vg-root . Parece-me que o primeiro está correto e o último é resultado de um bug no script Boot Repair, mas vale a pena manter essa inconsistência em mente. Lembro vagamente de ouvir um caso no passado quando alguém usou um traço ( - ) em um nome de grupo de volume e isso causou problemas, mas não me lembro dos detalhes. É improvável que esta seja a fonte do seu problema atual, pois parece que nada que possa ler o grupo de volume está sendo lançado, mas se você conseguir que o rEFInd ou o GRUB inicie, mas se deparar com problemas para inicializar completamente o sistema, apenas tente excluir todo o volume físico e reinstalar novamente, desta vez usando um nome de grupo de volume sem um traço.