O motivo pelo qual você define TERM no PuTTY é passá-lo para o servidor. Os aplicativos em execução no servidor usam essa variável de ambiente para escolher uma descrição do terminal que informa ao aplicativo se o terminal suporta cores, como definir cores, que teclas de função ele pode enviar e como interpretar a sequência de caracteres enviados por cada tecla de função.
O PuTTY não usa TERM diretamente.