Clientes não podem alternar entre roteadores, você tem que configurar isso nos próprios roteadores. Essencialmente, parece que você deseja balancear sua rede entre os roteadores. Eu recomendaria ter um ponto de acesso compartilhado que pudesse manipular o balanceamento de carga entre os roteadores que se conecta a seus clientes internos e, em seguida, os roteadores NAT a solicitação e enviá-lo para um modem.
Indo para adicionar isso caso eu entendi a pergunta errada. Se você quiser mudar para uma rede com o sinal mais alto, precisará de algum tipo de aplicativo no dispositivo que possa gerenciar essa transferência. Eu recomendaria configurar seu antigo roteador em algum outro lugar da casa como um ponto de acesso que se conecte sem fio ao seu roteador principal (um impulsionador de sinal, por assim dizer) e dê a ele seu próprio nome (SSID). Em seguida, instale um aplicativo como o Wifi Switcher no Android para alternar automaticamente entre a rede mais strong.
O roteador antigo eventualmente terá que se conectar ao principal, sem fio ou através das paredes via ethernet.