Isso depende inteiramente de como o nome do host é transmitido (se houver).
No entanto, existem alguns passos simples para alcançar o que você deseja. Primeiro de tudo, você precisa adicionar uma entrada estática para o seu Arduino em qualquer que esteja atuando como um servidor DHCP. Este é provavelmente o seu roteador, e a maioria dos roteadores suportam concessões estáticas. Feito isso, há duas abordagens principais.
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Adicione uma entrada DNS em seu roteador (presumindo que sua LAN tenha um roteador que atua como um gateway para a Internet). Como isso é feito depende inteiramente do seu roteador (e se ele suporta isso).
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Adicione uma entrada no seu arquivo hosts. Isso depende do sistema operacional, mas todos os sistemas operacionais têm um, mas em locais diferentes e sob nomes diferentes. Basicamente. Felizmente, a wikipedia tem uma boa lista de sistemas operacionais e o nome / local: link