TL; DR: Use uma interface de texto como é comum na maioria das instalações de servidor.
Existem vários fatores para isso.
Se o PC NÃO estiver executando uma GUI (isto é, no modo de texto - comum para uma instalação de servidor), então, estará usando muito, muito pouca energia para os gráficos.
Se o PC estiver executando uma GUI, depende da quantidade de atividade. Quando algo está acontecendo na tela (independentemente de o monitor estar conectado), o computador precisa calcular as alterações. Esses cálculos são o que usam o poder do processador. Se você usar uma GUI leve como o lxde, ela usará muito menos do que uma GUI avançada graficamente, que lida com coisas como transparência e efeitos de janela. (normalmente usando compiz ou equivalente para renderização).
Existe, é claro, um sinal fluindo quando o monitor está ligado - isso pode usar energia, mas não uma quantidade significativa.
Um monitor, claro, consome energia. Quando está desligado, não está usando energia.