What I would like to have is a redirection from the "cloud.mycompany.com" to "cloud.mycompany.com/nextcloud".
Esta é provavelmente uma má ideia, já que é extremamente fácil configurar um loop de redirecionamento infinito. Você deve simplesmente colocar sua NextCloud pasta (o que você tem sob Alias agora) como o diretório padrão para um host virtual Apache (cloud.mycompany.com).
Also if you can tell me how to make pretty URL with apache, so the users won't see complete URLs, only basics, or at least exclude the nextcloud tag from the URL.
Se você configurar um host virtual conforme descrito, não será necessário ocultar / nextcloud no URL. Em relação à criação de URLs "bonitos", convém analisar esta questão para ver o que é e o que não é possível.