Does this windows version key is kept in the bios?
É menos que a chave do Windows esteja no BIOS e mais que o Win10 usa a verificação de hardware para ativar em uma determinada máquina. Seu laptop só teve o Win10 Home instalado e só é ativado para esse produto. Se você o tivesse comprado com o Win10 Pro, o mesmo se aplicaria ao contrário; você não poderá fazer o downgrade para a versão inicial.
but this time it did not ask, just installed windows 10 home (whaaat?) and in somehow restored the previous windows key (oem key)
Essa seria a mídia de instalação verificando seu hardware quanto a assinaturas de autenticação. Encontrou-os e carregou a versão correspondente do Windows.
I'm thinking im reformat with Linux to wipe out the hd and remove the previous windows flavor.
Isso não fará diferença, não há uma chave do Win10 Pro associada ao seu laptop. A mesma coisa que você detalhou em sua pergunta acontecerá novamente.
What can I do to install a different version of windows?
Você tem que comprar uma versão diferente do Windows, desculpe man. Você mencionou que precisa para o trabalho, talvez o seu trabalho ou escola possa ajudar a cobrir o custo. Boa sorte.