Tendo algumas delas eu mesmo, infelizmente você precisa usar o Windows para gravar o firmware ou pode tentar fazer a engenharia reversa do firmware usando o Flashrom ou semelhante ao bitbang dele.
Você também pode tentar usar o software por meio de algo como o Virtualbox ou o WINE fazendo um intermediário na unidade USB, mas com a camada extra é muito menos provável que a reprogramação do firmware funcione.
Sua melhor aposta é criar um disco de recuperação / recuperação do Windows PE inicializável temporário e colocar o software que você vinculou nele para ser executado no USB (você precisará de pelo menos duas portas USB no sistema para que isso funcione) .