Seu problema é você colocar sua instrução expr entre aspas simples, o que impede que o shell substitua ${Today} por 5 e impede que ele execute a instrução expr (apenas armazena a expressão inteira como um string na variável Tomorrow ).
Você provavelmente quer algo assim:
#!/bin/sh
Today='date +%u' # which gives me 5
Tomorrow='expr ${Today} + 1' # works
echo $Tomorrow # outputs 6