O adaptador é tudo o que você precisa. O HDMI é compatível com versões anteriores do DVI, porque eles possuem as mesmas especificações elétricas para os pinos. Então você poderá simplesmente conectá-lo e ser bom de ir.
A única preocupação que tenho é que o áudio pode ou não funcionar.
Features specific to HDMI, such as remote-control and audio transport, are not available in devices that use legacy DVI-D signalling. However, many devices output HDMI over a DVI connector and some multimedia displays may accept HDMI (including audio) over a DVI input. Source
Eu também usei um cabo HDMI para DVI, virtualmente a mesma coisa que um adaptador, no meu PC. No meu caso, o transporte de áudio funcionou bem. Mas isso veio de uma porta de saída DVI em uma Nvidia GTX 680 para um novo monitor Samsung.