O trabalho de um roteador é rotear o tráfego entre as redes. No seu caso, existem duas redes diferentes: a Wide Area Network (WAN) e a Local Area Network (LAN). A WAN é a rede do seu ISP; a LAN é sua rede pessoal. O roteador fica entre essas duas redes - conceitualmente e fisicamente. Sua tarefa é transportar o tráfego de uma rede para outra e vice-versa.
Para fazer isso, o roteador tem dois endereços diferentes, não apenas um. Tem um endereço de LAN, que é (frequentemente) o endereço 192.168.1.1 que você referencia. Ele também tem um endereço de WAN, o (geralmente) endereço público atribuído a ele pelo seu ISP.
De dentro da sua rede, você provavelmente pode acessar o seu roteador em qualquer um dos seus endereços, embora normalmente do lado da LAN você possa acessá-lo através do seu endereço de LAN. De fora da sua rede, você só pode acessar seu roteador através do seu endereço WAN - o endereço da LAN, 192.168.1.1, não é roteirizado na internet e é por isso que a LAN local de alguém é livre para usá-lo sem medo de entrar em conflito com outra pessoa. O roteador faz alguma mágica, chamada de Network Address Translation (ou NAT), para fazer com que o tráfego de saída de suas máquinas locais pareça vir de si mesmo, de modo que apenas seu endereço público seja visível para a Internet. Quando o tráfego de resposta chega, ele inverte o NAT para enviar esse tráfego de resposta para qualquer uma das máquinas locais que o espera.
Espero que isso limpe um pouco para você.