Sim, isso funcionará bem.
O que está acontecendo no momento é uma das duas coisas - É mais provável que a tela construída em seu laptop existente seja 1366x768 e a tela esteja sendo espelhada em seu monitor - com uma resolução correspondente.
A alternativa é que o EDID (suporte da placa gráfica relatado pelo computador ao monitor) está sendo relatado em 1366x768, de modo que o monitor é obrigatório.
O HDMI é um padrão muito mais recente do que o VGA, por isso pode suportar trivialmente 1080p. 1080p é também a resolução nativa (preferida) do seu monitor, por isso suportá-lo através de HDMI. Qualquer PC não antigo suportará 1080p em HDMI.