Demorei um pouco, mas encontrei a solução!
O problema estava no cabo Ethernet. Dois dos cabos internos foram cortados. Eu li que o switch 100 usa apenas 4 dos 8 fios no cabo Ethernet, enquanto o 1000 usa todos eles. É por isso que quando eu conectava o SW2 ao roteador, todas as portas em ambos os switches tinham conectividade com a Internet.