Primeiro, seria útil saber como você está invocando seu script php. Em segundo lugar, em vez de ter o script php do mysql dump, você pode fazer com que o seu script bash / shell o faça e tudo o que o seu script php faz é invocá-lo.
Agora, desde que você tenha seu script php conectado ao mysql, o que você poderia fazer com a modificação mínima do seu script atual. Em vez de ter o seu script php, espere no script bash. Basta fazer com que o php invoque o script bash e esqueça-o desta maneira, você não precisa se preocupar com quanto tempo demora.
Em seu script bash, faça com que ele atualize uma linha no mysql dizendo que ele foi bem-sucedido ou falhou após sua compactação e se você tiver seu script bash fazendo o dump ele seria mais seguro do que ter um script php fazendo IE, seu credenciais para o DB nunca serão acessíveis pela web, assim como eu recomendo gerar uma chave privada para o ssh para php também. Então você poderia apenas fazer o php checá-lo mais tarde com um script diferente e então fazer algumas outras coisas, como reportar visualmente que ele foi bem sucedido, etc., verificando o DB para os resultados.
Existem muitas maneiras diferentes de resolver isso, desde usar PHP com poucos scripts diferentes, usar o bash para fazer mais coisas, até mesmo incluir outras linguagens como o javascript para ajudar a atualizar dinamicamente sua página para os resultados, para que você não use t tem que atualizar etc etc.