Desde que você tenha uma conexão PPPoE. Você provavelmente precisará configurar esse tipo de conexão em seu novo roteador. Geralmente, o modem a cabo discaria automaticamente em sua conexão. Mas parece que não. Portanto, o roteador pode precisar ser configurado para efetuar login na conexão do seu provedor, pois o PPPoE suporta a necessidade de ter credenciais para usá-lo com um nome de usuário e senha, e alguns roteadores são capazes de discagem automática para seus computadores. De qualquer forma, parece que o modem não faz isso pelo que você está dizendo, então isso significa que você precisa configurá-lo manualmente nas configurações dos roteadores e ele provavelmente exigirá um nome de usuário e senha para a conexão, o qual seu ISP tem essa informação, e você pode ligar para eles, se você não sabe o que é.
Mas também pode ser o seu ISP. Como você disse, eles não atualizaram sua ID do Mac. Não é comum que os ISPs usem modems a cabo para usar uma lista de controle de acesso que usa o endereço mac dos seus dispositivos, em vez de rastrearem o próprio hardware em suas linhas para evitar que você use modems não autorizados.
Você tem um modem. É apenas chamado de modem a cabo em vez de um modem DSL. Quase ambos funcionam exatamente da mesma maneira, basta comunicar com o ISP através de diferentes cabos e protocolos. De qualquer maneira quanto às luzes, a razão pela qual sua luz permanece acesa em dois dos seus cenários e depois desliga, é possivelmente o modem reconhecendo as credenciais como sendo válidas porque foi capaz de logar na rede do ISP, mas no final do ISP ele retorna uma mensagem para a conexão de modem não autorizada possivelmente porque acredita que o dispositivo não é permitido com base no id do endereço de mac. Para o outro cenário, isso significa que as credenciais são ruins e, portanto, não foi possível fazer login na rede do ISP para fazer nada e, como essa é uma resposta mais rápida, aguardar na rede do ISP para determinar a autorização para usar a rede. A luz se apaga imediatamente.