EDIT Atualizações não tão recentes do Windows agora impedem que um programa se defina como padrão para qualquer coisa, então o snippet abaixo não funcionará mais. Agradecemos a janv8000 por apontar para ele.
O comando que você mencionou deve ser executado pelo usuário que precisa do Firefox como navegador padrão. Você pode criar um arquivo de lote e colocá-lo na pasta de inicialização do menu Iniciar do usuário, certificando-se de que seja um arquivo de exclusão automática. Deveria se parecer com:
@echo off
firefox.exe -silent -nosplash -setDefaultBrowser
erase %0
(obviamente você pode adicionar mais comandos conforme necessário)
Caso contrário, o cmdlet Start-process
powershell tem um parâmetro -Credentials
, mas pelo que vejo ele solicitará uma senha (não adequada para um script).