A configuração atual da tabela de roteamento PC2 é o seu problema. Eu o reproduzi aqui com colunas sem importância removidas e convertidas da netmask para a notação CIDR:
Destination Gateway Metric Iface
0.0.0.0/0 10.0.0.138 0 wlan0
10.0.0.0/24 0.0.0.0 1 eth0
10.0.0.0/24 0.0.0.0 9 wlan0
A primeira linha significa em inglês simples "O tráfego para todos os outros sites é enviado pelo gateway 10.0.0.138".
A segunda e terceira linha fornecem o mesmo destino, então a métrica mais baixa ganha. A linha 3 pode nem estar lá. Significado em inglês simples "Para alcançar o gateway 10.0.0.138 e todos os outros 10.0.0. * Peers, envie por meio de eth0"
Juntos, isso resulta em tráfego destinado à Internet passando pela eth0, daí a sua falta de conectividade.
O problema surge porque você tem a mesma sub-rede usada em dois domínios de bridging diferentes na mesma rede, o que não é permitido. Pare com isso!
Mude a máscara de rede da interface eth0 do PC2 para 255.255.252.0 e forneça um endereço IP mais distante do roteador, o que mudará a tabela de roteamento para (por exemplo, dando o PC2 eth0 10.0.0.21 e PC1 eth0 10.0.0.22)
Destination Gateway Metric Iface
0.0.0.0/0 10.0.0.138 0 wlan0
10.0.0.20/30 0.0.0.0 1 eth0
10.0.0.0/24 0.0.0.0 9 wlan0
Agora, o tráfego para o gateway 10.0.0.138 não corresponderá à segunda linha e usará a terceira linha corretamente.
Melhor ainda seria usar um intervalo não sobreposto para a conexão com fio, por exemplo, 10.0.1.x
Para que o acesso à Internet também funcione para o PC1, o roteador precisará enviar o tráfego destinado ao PC1 via PC2. Há duas maneiras de configurar isso: altere a tabela de roteamento do roteador ou configure o PC2 para executar o proxy ARP.