Eu não entendi totalmente a sua pergunta, mas o que recebi foi:
Você tem um laptop, que recebe conectividade com a Internet se estiver conectado ao roteador via cabo LAN ou Wi-Fi, quando o roteador estiver conectado ao modem.
Seu laptop não recebe conectividade com a Internet quando você o conecta ao modem.
Eu gostaria de sugerir que você verifique o site do seu provedor. faça login na sua conta no site do ISP e verifique se o endereço MAC do seu laptop está registrado ou não. Se não estiver lá, você deverá adicioná-lo ou entrar em contato com o ISP para fazê-lo.
E se você não quiser passar por tudo isso, obtenha o endereço MAC do roteador e altere o endereço MAC do seu laptop.
Que você pode ver como aqui .