Estou assumindo que o seu PC doméstico é um sistema Windows. Já que você quer rodar um programa de uma máquina linux no seu sistema Windows, você precisa instalar um servidor X como Xming neste máquina.
Agora, após ativar o X11Forwarding na configuração do sshd e na sua conexão, você pode executar programas como o firefox na sua caixa do Linux no Windows.