Supondo que você esteja usando o estoque Mint, então você está usando o Network Manager para suas conexões com fio / sem fio. Se você acessar as configurações com fio ou sem fio na barra de status e Editar, deverá ter uma caixa de diálogo como essa (o tema / cores provavelmente são diferentes para você):
Basta deslizar a configuração DNS Automatic (Automático DNS) para Off (Desativado) e digite os endereços IP específicos do servidor DNS a serem usados. Isso substituirá o que vem do servidor DHCP e será essencialmente permanente. É claro que você pode voltar aqui e excluir os IPs e voltar ao automático para usar os servidores DNS fornecidos por um servidor DHCP local.