I still have the install disk for Windows 7 but it's an OEM licence so, from what I've read, I can't just do a fresh install (EDIT) as the licence is non-transferable?
A licença não é transferível para um novo computador, mas a substituição do seu disco rígido por um SSD não conta como um novo computador. IIRC, a linha oficial da Microsoft, é que substituir a placa-mãe por outros motivos além do reparo é um "novo computador". Qualquer outra atualização é considerada ainda o mesmo computador.
Se for uma cópia "Direct OEM" (etiqueta de licença e mídia com o nome do fabricante do PC), o disco de instalação deve ser digitado no BIOS da placa-mãe e deve ser ativado automaticamente. Se for uma cópia do "criador de sistemas" (adesivo de licença e mídia sem marca com o nome do fabricante do PC), você terá que usar a chave no adesivo para ativar on-line ou por telefone.