Depende do seu ISP específico, em alguns casos, o seu IP dinâmico atual ficará simplesmente preso à sua conta, pelo que não terá de fazer nada para que permaneça estático e público.
Em outros casos, você receberá um novo IP após o roteador liberar seu IP atual e solicitar um novo.
Se você não tiver certeza, a melhor opção é entrar em contato com seu ISP, mas uma redefinição normal do roteador deve resolver o problema.
O que você faz com o novo IP é uma questão diferente, mas para testar se meu novo IP é público, o que eu faria seria configurar um servidor web (nginx ou apache) e visitar meu IP público de um navegador conectado ao Tor. Para fazer isso, você pode precisar encaminhar uma porta do roteador para a máquina em que você tem o servidor da web. O encaminhamento de uma porta é feito na interface do roteador, que você geralmente pode acessar navegando para 192.168.0.1 (YMMV). E instalar um servidor web depende do seu sistema operacional (no linux você pode fazer sudo apt-get install nginx e é isso). A instalação do pacote Tor é bastante fácil.