Você pode usar logrotate para isso. Um exemplo de arquivo de configuração logrotate poderia ser algo como isto, assumindo que você usa um cronjob para salvar um mysql-dump diário em /home/myuser/mysqldumps/mydb.sql :
/home/myuser/mysqldumps/mydb.sql {
daily
missingok
rotate 31
notifempty
}
Adicionar compress pode ser considerado para reduzir o espaço em disco.