Isso está relacionado ao bug heartbleed. Enquanto o meu servidor (12.04 LTS) foi configurado para executar uma instalação autônoma de todas as atualizações de segurança, parece que o nginx não foi reiniciado, então ele ainda foi afetado pelo bug.
Ao executar manualmente a reinicialização, o problema foi resolvido, mas estou procurando uma solução automática para esse tipo de problema.
Nota: Estou usando o nginx do nginx.org, não o do Ubuntu, que é antigo.