Provavelmente, você só terá problemas com os e-mails do seu provedor antigo (e de quaisquer outros hosts no mesmo sistema de "hospedagem compartilhada")
Isso porque você não informou ao seu provedor antigo que está movendo seu MX (e deveria ter), portanto, em sua configuração local, ele ainda está configurado como autorizado para seu domínio. Assim, qualquer e-mail proveniente desse sistema apenas "saberá" que precisa entregar os e-mails localmente no servidor de e-mail oldprovider, em vez de direcioná-los para a Internet.
O que está errado, porque você cometeu um erro ao não informá-los.
Então, o que você precisa fazer é entrar em contato com seu provedor antigo e informar que continuará usando os serviços da Web, mas que você moveu os e-mails para outro lugar, por isso eles precisam remover a configuração de e-mail do seu domínio.
Depois disso, seus servidores de e-mail considerarão seu domínio como externo (o mesmo que qualquer outro que não seja seu cliente) e o encaminhará para a rede, onde ele alcançará seus novos hosts.