Uma maneira estável é salvar o diagrama como uma imagem. Eu prefiro usar o formato PNG, mas outros formatos também estão disponíveis.
Simplesmente Save as ...
e selecione o formato da imagem no menu suspenso do tipo de arquivo. Uma caixa de diálogo adicional será exibida pedindo para você selecionar a resolução e o tamanho. Experimente um pouco para ver o que melhor se adapta à sua situação. Como um padrão rápido, costumo selecionar uma resolução de impressão (mais detalhada que uma tela) com o tamanho padrão.
Se o desenho for grande, a configuração de impressão padrão (600 dpi IIRC) resultará em uma imagem muito grande para o Visio manipular. Nesses casos, seleciono uma resolução padrão (por exemplo, 300 dpi) que permite a instalação de uma imagem de tamanho razoável.
Depois de salvar sua imagem, você poderá inseri-la no documento como faria com qualquer outra imagem.
Copiar e colar diretamente no Word criará um tipo de meta-imagem. Isso significa que você pode selecionar vários componentes ... ou o Word pode formatá-los automaticamente para você (incomum, mas isso aconteceu comigo). Às vezes, o Word não redimensionará as coisas corretamente e você acabará com partes compactadas ou sobrepostas. Foram essas experiências que me levaram a salvar diagramas do Visio como imagens. Nunca foi um problema desde então. Um bônus adicional é que você pode facilmente reutilizar as imagens em outros aplicativos e também anexar aos e-mails.