Resposta curta:
Quase todos os serviços de vídeo têm URL oculta alternativa para cada vídeo, onde você pode fazer o download diretamente. Essas extensões sabem como "criar" esse URL a partir do seu link de vídeo.
Resposta longa:
Normalmente, não é tão difícil descobrir que os URLs e o F12, o Ctrl + U ou o downloader interno do Maxthon fazem o trabalho. E geralmente essas URLs têm um parâmetro semelhante a ID, por isso, se você alterá-lo com outro ID de vídeo, também poderá fazer o download desse vídeo.
O trabalho é mais difícil se eles tiverem parâmetros parecidos com hash, então você deve descobrir como esses hashes são adicionados. Mas a maioria dos serviços (especialmente os pequenos) usa algoritmos fáceis como o Base64, adiciona lá algum tempo de data e hora e algum ID. Nesse caso, seu trabalho é fácil.
(P.S. Acabei de experimentar e levei cerca de 5 minutos com o Chrome F12 para encontrar o URL direto do DailyMotion.)