Ok, eu encontrei uma solução temporária (está funcionando até agora, então achei que valeria a pena postar).
Minha NIC usa os drivers Realtek 8111G , que não são suportados pelo ESXi. A instalação dos drivers 8168 ou 8169 não funcionou (o que significa que a NIC foi reconhecida, mas continuou desconectando).
Encontrei uma postagem no fórum da comunidade do vmware em que um usuário sugeriu deixar o campo de gateway do host vazio. Eu não sei se vai durar muito tempo, mas pelo menos a situação é muito melhor do que antes.