apt-get gerencia listas de pacotes disponíveis para o sistema. Ele também lida com a resolução da dependência de pacotes, de modo que ao instalar um pacote, todos os outros pacotes requeridos por ele também sejam instalados. Ele também lida com o download de pacotes de repositórios de pacotes.
dpkg é a ferramenta de baixo nível que realmente instala o conteúdo do pacote no sistema.
Se você tentar instalar um pacote com dpkg cujas dependências estão faltando, o dpkg irá sair e reclamar sobre as dependências que estão faltando.
Com o apt-get também instala as dependências.