1) Supondo que ambos os roteadores funcionem 24/7, não importa qual deles executa o servidor DHCP.
2 e 4) Você pode definir qual roteador deve lidar com solicitações de saída definindo o IP do gateway padrão . IP do roteador desejado. (Você precisa fazer isso para cada máquina em sua LAN)
3) Para isso, você precisa configurar o NAT no roteador desejado. NAT não precisa necessariamente estar no mesmo dispositivo que o servidor DHCP.