Como se constata, é o próprio controlador de impressão padrão que faz com que a janela apareça. System.Drawing.Printing dá todos os novos PrintDocuments o controlador de impressão padrão. Ao configurar a página para imprimir, meu programa segue as seguintes instruções:
PrintDocument pd = new PrintDocument();
pd.PrinterSettings.PrinterName = PrinterName;
...
O que eu fiz para resolver o problema foi dar a ele um novo controlador de impressão usando o construtor padrão:
pd.PrintController = new StandardPrintController();
Agora não há janelas "Imprimindo ..." aparecendo e isso também aumentou visivelmente o desempenho do meu programa. Espero que isso ajude alguém que tenha esse problema, mas provavelmente ele deve ser movido para o StackOverflow, pois é um problema de programação, não um problema do Windows.