O DNS traduz somente nomes de computadores para IPs. Para obter "mySite.local" para servir "192.168.1.1/mySite" você precisa configurar seu servidor web. No Apache, esse geralmente é o item de configuração DocumentRoot
em uma sub-rotina VirtualHost
. Não sei como você deve configurar o IIS para isso, se estiver atendendo ao IIS no Windows.