O Mac Mail abre muitas conexões IMAP por cliente. Se você tem muitos clientes do Mac Mail abertos em uma rede local, é possível que, para toda a sua rede interna, você esteja passando por um limite definido pelo servidor para o seu IP.
Até onde eu sei, não há como configurar quantas conexões IMAP o Mac Mail cria. Uma coisa que você pode fazer é fechar (clicar com o botão direito do mouse, sair) de outros clientes do Mac Mail na rede e ver se o seu cliente pode se conectar.
Para provedores de e-mail menores, você pode solicitar que eles aumentem o limite de conexão IMAP.