Eventualmente eu descobri. Não tenho certeza de qual alteração é mais importante para isso, mas:
em /etc/exim4/update-exim4.conf.conf
dc_eximconfig_configtype='smarthost'
dc_smarthost='smtp.englishetc.pl::587'
O :: 587 não era óbvio para mim.
em /etc/exim4/passwd.client
# https://poczta.nazwa.pl/
englishetc.pl:[email protected]:passwd
smtp.englishetc.pl:[email protected]:passwd
^smtp[0-9]*.englishetc.pl:[email protected]:passwd
*.englishetc.pl:[email protected]:passwd